Prépa, 1re année › Groupe symétrique › Stabilité du support
Stabilité du support : énoncé (MPSI)
Propriété
Stabilité du support
Pour tout $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, $\sigma(\mathrm{Supp}(\sigma))=\mathrm{Supp}(\sigma)$, et $\mathrm{Supp}(\sigma^{-1})=\mathrm{Supp}(\sigma)$.
Démonstration : Stabilité du support
Démonstration
Preuve
Si $x \in \mathrm{Supp}(\sigma)$, alors $\sigma(x)\neq x$. Par injectivité, $\sigma(\sigma(x))\neq\sigma(x)$, donc $\sigma(x) \in \mathrm{Supp}(\sigma)$. Ainsi $\sigma(\mathrm{Supp}(\sigma)) \subset \mathrm{Supp}(\sigma)$ ; l'égalité vient de ce que $\sigma$ est injective et que l'ensemble est fini.
Enfin $\sigma(x)=x \iff x=\sigma^{-1}(x)$, d'où l'égalité des supports.
S’entraîner
- Composer et inverser dans $\mathfrak{S}_5$
- Décomposition, ordre et puissance d'une permutation de $\mathfrak{S}_9$
- Produits de cycles non disjoints