Inverse et ordre d'un cycle : énoncé (MPSI)
Inverse et ordre d'un cycle
Soit $c=(a_1\ \cdots\ a_k)$ un $k$-cycle.
- $c^{-1}=(a_k\ a_{k-1}\ \cdots\ a_1)$.
- Pour $1 \leqslant j \leqslant k$ et $m \in \mathbb{N}$, $c^m(a_j)=a_{j+m}$ où l'indice est lu modulo $k$ (dans $[\![1,k]\!]$).
- $c$ est d'ordre $k$ dans $\mathfrak{S}_n$. En particulier, une transposition $t$ vérifie $t^2=\mathrm{id}$, $t^{-1}=t$.
Démonstration : Inverse et ordre d'un cycle
Preuve
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La permutation $(a_k\ \cdots\ a_1)$ envoie $a_{j+1}$ sur $a_j$ et $a_1$ sur $a_k$ : elle défait exactement ce que fait $c$, et les deux fixent les mêmes points.
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Récurrence immédiate sur $m$ : chaque application de $c$ fait avancer l'indice de 1, modulo $k$.
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D'après 2, $c^m=\mathrm{id}$ si et seulement si $a_{1+m}=a_1$ (les points hors support sont fixes de toute façon, et si $c^m(a_1)=a_1$ alors $c^m(a_j)=c^{j-1}(c^m(a_1))=a_j$). Les $a_j$ étant distincts, cela équivaut à $k \mid m$. Le plus petit $m \geqslant 1$ convenable est $k$.
Puissances d'un 4-cycle
Soit $c=(1\ 2\ 3\ 4)$. Alors $c^2$ envoie $1\mapsto3$, $3\mapsto1$, $2\mapsto4$, $4\mapsto2$ : $c^2=(1\ 3)(2\ 4)$. Ensuite $c^3=c^{-1}=(4\ 3\ 2\ 1)=(1\ 4\ 3\ 2)$ et $c^4=\mathrm{id}$.
Le carré d'un cycle n'est donc pas toujours un cycle.
S’entraîner
- Composer et inverser dans $\mathfrak{S}_5$
- Décomposition, ordre et puissance d'une permutation de $\mathfrak{S}_9$
- Ordre maximal d'un élément de $\mathfrak{S}_7$
- Éléments d'ordre 2 et d'ordre 3 de $\mathfrak{S}_6$
- Puissances d'un cycle