Prépa, 1re année › Groupe symétrique › Permutations à supports disjoints
Permutations à supports disjoints : énoncé (MPSI)
Propriété
Permutations à supports disjoints
Si $\sigma,\tau \in \mathfrak{S}_n$ ont des supports disjoints, alors $\sigma\tau=\tau\sigma$. En particulier, deux cycles à supports disjoints commutent.
Démonstration : Permutations à supports disjoints
Démonstration
Preuve
Notons $S=\mathrm{Supp}(\sigma)$, $T=\mathrm{Supp}(\tau)$, avec $S\cap T=\varnothing$. Soit $x \in [\![1,n]\!]$.
- Si $x \in S$ : $x \notin T$ donc $\tau(x)=x$ et $\sigma\tau(x)=\sigma(x)$. Par stabilité, $\sigma(x) \in S$, donc $\sigma(x)\notin T$ et $\tau\sigma(x)=\sigma(x)$.
- Si $x \in T$ : même raisonnement en échangeant les rôles, $\sigma\tau(x)=\tau\sigma(x)=\tau(x)$.
- Si $x \notin S\cup T$ : $\sigma\tau(x)=\tau\sigma(x)=x$.
Donc $\sigma\tau=\tau\sigma$.
Attention
Cycles non disjoints
Deux cycles dont les supports se rencontrent ne commutent pas en général : $(1\ 2)(2\ 3)=(1\ 2\ 3)$ alors que $(2\ 3)(1\ 2)=(1\ 3\ 2)$.
S’entraîner
- Composer et inverser dans $\mathfrak{S}_5$
- Décomposition, ordre et puissance d'une permutation de $\mathfrak{S}_9$
- Produits de cycles non disjoints
- Signature par les inversions
- Conjugaison de permutations