Cycle, transposition : définition (MPSI)
Cycle, transposition
Soit $k \geqslant 2$ et $a_1,\dots,a_k$ des éléments deux à deux distincts de $[\![1,n]\!]$. On note $(a_1\ a_2\ \cdots\ a_k)$ la permutation $c$ définie par $$c(a_1)=a_2,\ c(a_2)=a_3,\ \dots,\ c(a_{k-1})=a_k,\ c(a_k)=a_1,$$ et $c(x)=x$ pour $x \notin\{a_1,\dots,a_k\}$.
Une telle permutation est un cycle de longueur $k$ (ou $k$-cycle). Son support est $\{a_1,\dots,a_k\}$.
Un cycle de longueur 2 est une transposition : $(a\ b)$ échange $a$ et $b$ et fixe tout le reste.
Une écriture n'est pas unique
Un $k$-cycle admet exactement $k$ écritures : on peut commencer par n'importe lequel de ses éléments. Ainsi $(1\ 2\ 3)=(2\ 3\ 1)=(3\ 1\ 2)$, mais $(1\ 2\ 3)\neq(1\ 3\ 2)$.
Par suite, le nombre de $k$-cycles de $\mathfrak{S}_n$ est $\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k}=\dfrac{n!}{k\,(n-k)!}$. En particulier, il y a $\dfrac{n(n-1)}{2}$ transpositions.
S’entraîner
- Puissances d'un cycle
- Carrés dans le groupe symétrique
- Centre de $\mathfrak{S}_n$ et commutant d'un $n$-cycle
- Morphismes de $\mathfrak{S}_n$ dans $\mathbb{C}^*$
- Le groupe $\mathfrak{S}_4$ et le sous-groupe de Klein (type CCINP)