On considère la suite définie par $u_0 \in \mathbb{R}$ et $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f(x) = 1 + \frac{x^2}{4}$.
- Montrer que $(u_n)$ est croissante quelle que soit la valeur de $u_0$.
- On suppose $u_0 = 0$. Montrer que $0 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n$, puis que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
- On suppose $u_0 = 3$. Déterminer la limite de $(u_n)$.
- On suppose $u_0 \in [-2, 2]$. Déterminer la limite de $(u_n)$.
Calculer $u_{n+1} - u_n$ et reconnaître une identité remarquable.
Une limite éventuelle $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ : résoudre cette équation.
Pour $u_0 = 3$, raisonner par l'absurde en supposant la suite convergente.
La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
1. Pour tout $n$ : $$u_{n+1} - u_n = 1 + \frac{u_n^2}{4} - u_n = \frac{u_n^2 - 4u_n + 4}{4} = \frac{(u_n - 2)^2}{4} \geq 0.$$ La suite est croissante.
Points fixes. $f(\ell) = \ell \iff \ell^2 - 4\ell + 4 = 0 \iff (\ell - 2)^2 = 0 \iff \ell = 2$.
2. Montrons par récurrence $P(n) : 0 \leq u_n \leq 2$. $P(0)$ est vraie. Si $P(n)$ est vraie, $0 \leq u_n^2 \leq 4$ donc $1 \leq u_{n+1} \leq 2$, et $P(n+1)$ est vraie.
La suite est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers un réel $\ell$, avec $0 \leq \ell \leq 2$ par passage à la limite. Comme $u_{n+1} = f(u_n)$ et que $f$ est continue en $\ell$, on a $\ell = f(\ell)$, donc $\ell = 2$.
3. La suite est croissante, donc $u_n \geq u_0 = 3$ pour tout $n$. Supposons qu'elle converge vers $\ell$. Par passage à la limite, $\ell \geq 3$ ; par continuité de $f$, $\ell = f(\ell)$, donc $\ell = 2$. Contradiction. La suite ne converge pas. Une suite croissante majorée convergerait (limite monotone) : $(u_n)$ n'est donc pas majorée, et étant croissante, elle tend vers $+\infty$.
4. Si $u_0 \in [-2, 2]$, alors $u_0^2 \leq 4$ et $u_1 = 1 + \frac{u_0^2}{4} \in [1, 2] \subset [0, 2]$. La récurrence de la question 2, initialisée au rang $1$, donne $0 \leq u_n \leq 2$ pour tout $n \geq 1$. La suite est croissante, majorée par $2$, et le même argument montre que sa limite est $2$.
$u_n \to 2$ si $u_0 \in [-2, 2]$ ; $u_n \to +\infty$ si $u_0 = 3$