Exercice corrigé : Une fonction continue injective est strictement monotone

1. Pour $t \in [0, 1]$, $x(t)$ est compris entre $x$ et $x'$, et $y(t)$ entre $y$ et $y'$ ; comme $I$ est un intervalle, $x(t), y(t) \in I$, donc $g$ est bien définie. Elle est continue comme composée et différence de fonctions continues. De plus $$y(t) - x(t) = (1 - t)(y - x) + t(y' - x') > 0$$ car $1 - t$ et $t$ sont positifs, non tous deux nuls, et $y - x > 0$, $y' - x' > 0$. Donc $x(t) \neq y(t)$ et, par injectivité, $g(t) \neq 0$.

2. La fonction $g$ est continue sur l'intervalle $[0, 1]$ et ne s'annule pas : par le théorème des valeurs intermédiaires, elle garde un signe strict constant. En particulier $g(0) = f(y) - f(x)$ et $g(1) = f(y') - f(x')$ sont de même signe strict.

Ainsi, pour tous couples $x < y$ et $x' < y'$ de $I$, $f(y) - f(x)$ et $f(y') - f(x')$ ont le même signe. Fixons $x_0 < y_0$ dans $I$. Si $f(y_0) > f(x_0)$, alors $f(y) > f(x)$ pour tous $x < y$ : $f$ est strictement croissante. Sinon $f(y_0) < f(x_0)$ et $f$ est strictement décroissante.

3. Supposons $h(x) = h(y)$. Si $x, y \in \mathbb{Q}$, alors $x = y$. Si $x, y \notin \mathbb{Q}$, alors $1 - x = 1 - y$ et $x = y$. Si $x \in \mathbb{Q}$ et $y \notin \mathbb{Q}$, alors $x = 1 - y$, donc $y = 1 - x \in \mathbb{Q}$ : impossible. Donc $h$ est injective.

On a $0 < \frac{1}{2} < \frac{\sqrt{2}}{2}$ (car $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} > \frac{1}{4}$), avec $h(0) = 0 < h\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$ et $h\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{1}{2}$ puisque $\frac{\sqrt{2}}{2}$ est irrationnel et supérieur à $\frac{1}{2}$. La fonction croît puis décroît : elle n'est pas monotone. L'hypothèse manquante est la continuité.

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