Théorème des valeurs intermédiairesUnicité par stricte monotonieLocaliser une solution
- Montrer que l'équation $\cos x = x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.
- Montrer que $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.
- Montrer que l'équation $\cos x = x$ n'admet aucune autre solution réelle.
Indice 1
Étudier $g(x) = \cos x - x$ sur $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ : continuité, monotonie, valeurs aux bornes.
Indice 2
Pour comparer $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\frac{\pi}{4}$, comparer $2\sqrt{2}$ et $3$.
Indice 3
Hors de $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, comparer $x$ avec $-1$ et $1$, bornes du cosinus.
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