Exercice corrigé : Théorème de la corde universelle

1. Posons $g(x) = f\left(x + \frac{1}{2}\right) - f(x)$ sur $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ : pour $x$ dans cet intervalle, $x + \frac{1}{2} \in [0, 1]$, donc $g$ est bien définie et continue. On a $$g(0) + g\left(\tfrac{1}{2}\right) = f\left(\tfrac{1}{2}\right) - f(0) + f(1) - f\left(\tfrac{1}{2}\right) = f(1) - f(0) = 0.$$ Ainsi $g\left(\frac{1}{2}\right) = -g(0)$ : $0$ est compris entre $g(0)$ et $g\left(\frac{1}{2}\right)$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$ tel que $g(c) = 0$.

2. Posons $g(x) = f\left(x + \frac{1}{n}\right) - f(x)$ sur $\left[0, 1 - \frac{1}{n}\right]$, continue. Pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$, $\frac{k}{n} \in \left[0, 1 - \frac{1}{n}\right]$ et, par télescopage, $$\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right) = \sum_{k=0}^{n-1}\left[f\left(\frac{k+1}{n}\right) - f\left(\frac{k}{n}\right)\right] = f(1) - f(0) = 0.$$ Si tous les $g\left(\frac{k}{n}\right)$ étaient strictement positifs, la somme le serait ; de même s'ils étaient tous strictement négatifs. Il existe donc $i, j$ tels que $g\left(\frac{i}{n}\right) \leq 0 \leq g\left(\frac{j}{n}\right)$. Par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $g$ entre $\frac{i}{n}$ et $\frac{j}{n}$ (points de l'intervalle $\left[0, 1 - \frac{1}{n}\right]$), il existe $c$ entre ces points, donc dans $\left[0, 1 - \frac{1}{n}\right]$, tel que $g(c) = 0$.

3. La corde joignant les points du graphe d'abscisses $0$ et $1$ est horizontale de longueur $1$. Le résultat affirme que le graphe possède aussi une corde horizontale de longueur $\frac{1}{n}$ pour tout entier $n \geq 2$. On peut montrer (hors programme) que cela devient faux pour une longueur $\lambda \in ]0, 1[$ qui n'est pas l'inverse d'un entier.

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