Quantificateurs universel et existentiel : définition (MPSI)
Quantificateurs universel et existentiel
Soit $P(x)$ un prédicat sur un ensemble $E$.
- $\forall x\in E,\ P(x)$ signifie : pour tout élément $x$ de $E$, $P(x)$ est vraie.
- $\exists x\in E,\ P(x)$ signifie : il existe au moins un élément $x$ de $E$ tel que $P(x)$ soit vraie.
- $\exists!\,x\in E,\ P(x)$ signifie : il existe un et un seul $x\in E$ tel que $P(x)$ soit vraie.
Exemples : $\forall x\in\mathbb{R},\ x^2\geq 0$ est vraie ; $\exists x\in\mathbb{R},\ x^2=2$ est vraie ; $\exists!\,x\in\mathbb{R}_+,\ x^2=2$ est vraie, mais $\exists!\,x\in\mathbb{R},\ x^2=2$ est fausse.
Variable muette et usage des symboles
Dans $\forall x\in E,\ P(x)$, la variable $x$ est muette : $\forall t\in E,\ P(t)$ est la même assertion. En revanche, une fois l'assertion écrite, $x$ n'a plus de sens à l'extérieur.
Le programme demande d'utiliser les quantificateurs pour formuler précisément des énoncés et leurs négations. Leur emploi comme abréviations au milieu d'une phrase en français (« pour $\forall x$ ») est exclu dans une copie.
S’entraîner
- Écrire et nier des énoncés quantifiés
- Vrai ou faux : l'ordre des quantificateurs
- Quantificateurs et continuité
Dans le cours
Logique et raisonnements : Quantificateurs universel et existentiel