Prépa, 1re année › Logique et raisonnements › Démontrer un énoncé quantifié
Démontrer un énoncé quantifié : méthode (MPSI)
Méthode
Démontrer un énoncé quantifié
- Pour démontrer $\forall x\in E,\ P(x)$ : on écrit « Soit $x\in E$. » puis on démontre $P(x)$ pour cet $x$ quelconque, sans rien supposer d'autre sur lui. Vérifier quelques valeurs ne démontre rien.
- Pour démontrer $\exists x\in E,\ P(x)$ : il suffit d'exhiber un élément $x_0\in E$ et de vérifier $P(x_0)$.
- Pour démontrer qu'un énoncé $\forall x\in E,\ P(x)$ est faux : on donne un contre-exemple, c'est-à-dire un $x_0\in E$ tel que $P(x_0)$ soit fausse.
- Pour démontrer $\exists!\,x\in E,\ P(x)$ : on prouve l'existence, puis l'unicité (si $P(x)$ et $P(y)$, alors $x=y$).
Exemple
Contre-exemple
L'énoncé « pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n^2+n+41$ est premier » est faux. Il est vrai pour $n=0,1,\dots,39$, mais pour $n=40$ : $$40^2+40+41=40\times 41+41=41\times 41,$$ qui n'est pas premier. Quarante vérifications ne remplacent pas une démonstration.
S’entraîner
- Écrire et nier des énoncés quantifiés
- Vrai ou faux : l'ordre des quantificateurs
- Quantificateurs et continuité
- Écriture unique $n=2^a(2b+1)$
- Examen : suite de Fibonacci et récurrences