Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle. Écrire chacune des assertions suivantes avec des quantificateurs, puis écrire sa négation avec des quantificateurs et la traduire en français.
- $f$ est bornée.
- $f$ s'annule au moins une fois sur $\mathbb{R}$.
- $f$ est positive sur $\mathbb{R}_+$.
- $(u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang.
- $f$ est périodique.
« $f$ bornée » : il existe un même $M$ qui majore $|f(x)|$ pour tous les $x$.
« À partir d'un certain rang » se traduit par $\exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\geq N$.
En niant, on ne touche pas aux ensembles de variation : un « $\forall x\geq 0$ » devient « $\exists x\geq 0$ ».
On applique la méthode du cours : on garde l'ordre et les ensembles, on échange $\forall$ et $\exists$, on nie la propriété finale.
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$f$ bornée : $\exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in\mathbb{R},\ |f(x)|\leq M$. Négation : $\forall M\in\mathbb{R},\ \exists x\in\mathbb{R},\ |f(x)|>M$. Aucun réel ne majore $|f|$ : pour tout seuil, $|f|$ le dépasse quelque part.
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$\exists x\in\mathbb{R},\ f(x)=0$. Négation : $\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)\neq 0$. La fonction ne s'annule jamais.
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$\forall x\in\mathbb{R}_+,\ f(x)\geq 0$. Négation : $\exists x\in\mathbb{R}_+,\ f(x)<0$. Il existe un réel positif où $f$ est strictement négative. Écrire « $\exists x<0$ » serait une erreur : la condition $x\geq 0$ n'est pas niée.
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$\exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\geq N,\ u_{n+1}\geq u_n$. Négation : $\forall N\in\mathbb{N},\ \exists n\geq N,\ u_{n+1}<u_n$. Aussi loin que l'on aille, on trouve encore un rang où la suite décroît strictement.
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$\exists T>0,\ \forall x\in\mathbb{R},\ f(x+T)=f(x)$. Négation : $\forall T>0,\ \exists x\in\mathbb{R},\ f(x+T)\neq f(x)$. Aucun réel $T>0$ n'est une période.
- $\forall M\in\mathbb{R},\ \exists x\in\mathbb{R},\ |f(x)|>M$ ; 2. $\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)\neq 0$ ; 3. $\exists x\in\mathbb{R}_+,\ f(x)<0$ ; 4. $\forall N\in\mathbb{N},\ \exists n\geq N,\ u_{n+1}<u_n$ ; 5. $\forall T>0,\ \exists x\in\mathbb{R},\ f(x+T)\neq f(x)$