Écrire la négation d'un énoncé quantifié : méthode (MPSI)
Écrire la négation d'un énoncé quantifié
- Écrire l'énoncé entièrement avec des quantificateurs, dans l'ordre exact.
- Remplacer chaque $\forall$ par $\exists$ et chaque $\exists$ par $\forall$, sans changer leur ordre ni les ensembles de variation (un « $\forall\varepsilon>0$ » devient « $\exists\varepsilon>0$ », et non « $\exists\varepsilon\leq 0$ »).
- Remplacer la propriété finale par sa négation, en utilisant De Morgan et $\neg(P\Rightarrow Q)\equiv P\wedge\neg Q$.
- Relire en français pour vérifier que le sens est bien le contraire.
Fonction majorée, fonction croissante
Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.
« $f$ est majorée » : $\exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in\mathbb{R},\ f(x)\leq M$.
Négation, « $f$ n'est pas majorée » : $\forall M\in\mathbb{R},\ \exists x\in\mathbb{R},\ f(x)>M$.
« $f$ est croissante » : $\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ \big(x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\big)$.
Négation, « $f$ n'est pas croissante » : $\exists (x,y)\in\mathbb{R}^2,\ x\leq y\ \text{et}\ f(x)>f(y)$.
On note que « non croissante » ne signifie pas « décroissante » : la fonction $x\mapsto x^2$ n'est ni l'une ni l'autre.
Suite convergente
Soit $(u_n)$ une suite réelle et $\ell\in\mathbb{R}$. « $(u_n)$ converge vers $\ell$ » s'écrit $$\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\geq N,\ |u_n-\ell|\leq\varepsilon.$$ Sa négation est $$\exists\varepsilon>0,\ \forall N\in\mathbb{N},\ \exists n\geq N,\ |u_n-\ell|>\varepsilon.$$ En français : il existe une marge $\varepsilon$ telle que, aussi loin que l'on aille, on trouve encore un terme à distance strictement plus grande que $\varepsilon$ de $\ell$.
S’entraîner
- Écrire et nier des énoncés quantifiés
- Vrai ou faux : l'ordre des quantificateurs
- Quantificateurs et continuité
- Examen : suite de Fibonacci et récurrences
Dans le cours
Logique et raisonnements : Écrire la négation d'un énoncé quantifié