Prépa, 1re année › Logique et raisonnements › Ordre des quantificateurs

Ordre des quantificateurs : énoncé (MPSI)

Propriété

Ordre des quantificateurs

Deux quantificateurs de même nature peuvent être permutés : $$\forall x\in E,\ \forall y\in F,\ P(x,y)\ \text{équivaut à}\ \forall y\in F,\ \forall x\in E,\ P(x,y),$$ et de même avec deux $\exists$.

On a toujours l'implication $$\big(\exists y\in F,\ \forall x\in E,\ P(x,y)\big)\Rightarrow\big(\forall x\in E,\ \exists y\in F,\ P(x,y)\big),$$ mais la réciproque est fausse en général.

Attention

Ne jamais permuter un $\forall$ et un $\exists$

$\forall x\in\mathbb{R},\ \exists y\in\mathbb{R},\ y>x$ est vraie : pour chaque $x$, le réel $y=x+1$ convient ; $y$ dépend de $x$.
$\exists y\in\mathbb{R},\ \forall x\in\mathbb{R},\ y>x$ est fausse : elle affirme l'existence d'un réel plus grand que tous les réels, y compris lui-même.

Dans « $\forall x,\ \exists y$ », l'élément $y$ peut dépendre de $x$. Dans « $\exists y,\ \forall x$ », le même $y$ doit convenir pour tous les $x$.

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Dans le cours

Logique et raisonnements : Ordre des quantificateurs