- Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{Z}$, le reste de la division euclidienne de $n^2$ par $4$ vaut $0$ ou $1$.
- En déduire qu'aucun entier de la forme $4k+3$, avec $k\in\mathbb{Z}$, n'est la somme de deux carrés d'entiers.
- L'entier $2027$ est-il la somme de deux carrés d'entiers ?
- Montrer par disjonction de cas que, pour tout $n\in\mathbb{Z}$, l'entier $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $3$.
Question 1 : distinguer $n$ pair et $n$ impair.
Question 2 : supposer $a^2+b^2=4k+3$ et calculer le reste de $a^2+b^2$ par $4$ ; utiliser l'unicité du reste.
Question 4 : distinguer les trois cas $n=3k$, $n=3k+1$, $n=3k+2$.
- Soit $n\in\mathbb{Z}$. Les cas « $n$ pair » et « $n$ impair » recouvrent $\mathbb{Z}$.
- Si $n=2k$ avec $k\in\mathbb{Z}$ : $n^2=4k^2$, le reste est $0$.
- Si $n=2k+1$ avec $k\in\mathbb{Z}$ : $n^2=4(k^2+k)+1$, le reste est $1$.
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Supposons par l'absurde qu'il existe $a,b,k\in\mathbb{Z}$ tels que $a^2+b^2=4k+3$. D'après la question 1, $a^2=4u+r$ et $b^2=4v+s$ avec $u,v\in\mathbb{Z}$ et $r,s\in\{0,1\}$. Alors $a^2+b^2=4(u+v)+(r+s)$ avec $0\leq r+s\leq 2<4$ : par unicité de la division euclidienne, le reste de $a^2+b^2$ par $4$ est $r+s\in\{0,1,2\}$. Or l'écriture $4k+3$ montre que ce reste vaut $3$. Contradiction.
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$2027=4\times 506+3$. D'après la question 2, $2027$ n'est pas somme de deux carrés d'entiers.
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Soit $n\in\mathbb{Z}$. Par division euclidienne par $3$, $n$ s'écrit $3k$, $3k+1$ ou $3k+2$ avec $k\in\mathbb{Z}$ ; ces trois cas recouvrent $\mathbb{Z}$.
- Si $n=3k$ : $3$ divise le facteur $n$.
- Si $n=3k+1$ : $2n+1=6k+3=3(2k+1)$.
- Si $n=3k+2$ : $n+1=3(k+1)$.
Dans chaque cas, l'un des facteurs est multiple de $3$, donc $n(n+1)(2n+1)$ est divisible par $3$.
reste $0$ ou $1$ ; $2027$ n'est pas somme de deux carrés ; $3\mid n(n+1)(2n+1)$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$