Résoudre un système par le pivot de Gauss : méthode (MPSI)
Résoudre un système par le pivot de Gauss
- Écrire la matrice augmentée $(A\mid B)$, ou garder les équations.
- Choisir un pivot non nul dans la première colonne non nulle, l'amener en première ligne par permutation si nécessaire.
- Annuler les coefficients situés sous le pivot par des transvections $L_i\leftarrow L_i-\frac{a_{i1}}{a_{11}}L_1$.
- Recommencer sur le sous-système obtenu en oubliant la première ligne.
- Lire le système échelonné : une ligne $0=c$ avec $c\neq0$ signifie système incompatible. Sinon, les inconnues correspondant aux colonnes des pivots sont les inconnues principales, les autres sont des paramètres.
- Remonter le système pour exprimer les inconnues principales en fonction des paramètres, et écrire $\mathcal S=X_0+\operatorname{Vect}(\dots)$.
Noter chaque opération à droite de la ligne modifiée ($L_2\leftarrow L_2-2L_1$) : cela permet de se relire.
Système de Cramer $3\times3$
$$\begin{cases}x+y+z=6\\2x+y-z=1\\x-y+2z=5\end{cases}$$ Avec $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ : $$\begin{cases}x+y+z=6\\-y-3z=-11\\-2y+z=-1\end{cases}$$ Puis $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ : $(-2y+z)-2(-y-3z)=7z$ et $-1-2\times(-11)=21$, d'où $7z=21$.
Remontée : $z=3$, puis $-y-9=-11$ donc $y=2$, puis $x=6-2-3=1$. Le système échelonné a trois pivots : il est de Cramer et $\mathcal S=\{(1,2,3)\}$. Vérification dans les équations initiales : $1+2+3=6$, $2+2-3=1$, $1-2+6=5$.
Système avec une infinité de solutions
$$\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+4y+z=5\end{cases}$$ $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ donne $3z=3$, soit $z=1$. Les pivots portent sur $x$ et $z$ : $y$ est un paramètre. De $x+2y-1=1$, on tire $x=2-2y$. Donc $$\mathcal S=\{(2-2y,\,y,\,1)\mid y\in\mathbb R\}=(2,0,1)+\operatorname{Vect}\big((-2,1,0)\big).$$ Le rang vaut $2$, il y a $3$ inconnues : la direction est bien de dimension $3-2=1$.
S’entraîner
- Inversion par Gauss-Jordan
- Rang, noyau, image et équivalence
- Système à quatre inconnues
- Système à paramètre