Prépa, 1re année › Matrices › Propriétés de la trace
Propriétés de la trace : énoncé (MPSI)
Propriété
Propriétés de la trace
- $\operatorname{tr}$ est une forme linéaire sur $\mathcal M_n(\mathbb K)$ ;
- $\operatorname{tr}(A^\top)=\operatorname{tr}A$ ;
- pour $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ et $B\in\mathcal M_{p,n}(\mathbb K)$ : $$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).$$
Démonstration : Propriétés de la trace
Démonstration
$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$
$AB\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ et $BA\in\mathcal M_p(\mathbb K)$ sont carrées. On calcule $$\operatorname{tr}(AB)=\sum_{i=1}^n(AB)_{ii}=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^pa_{ik}b_{ki}=\sum_{k=1}^p\sum_{i=1}^nb_{ki}a_{ik}=\sum_{k=1}^p(BA)_{kk}=\operatorname{tr}(BA).$$ L'échange des deux sommes finies est légitime.
S’entraîner
- Produits dans les deux sens
- Trace de $A^\top A$ et matrices symétriques nilpotentes
- Les formes linéaires sur $\mathcal M_n(\mathbb K)$
- Une algèbre de matrices (type CCINP)
- Matrices de trace nulle et commutateurs (type Mines-Ponts)