On considère $$A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&3&1\end{pmatrix}\in\mathcal M_{2,3}(\mathbb R),\qquad B=\begin{pmatrix}2&1\\1&0\\-1&4\end{pmatrix}\in\mathcal M_{3,2}(\mathbb R).$$
- Justifier que $AB$ et $BA$ existent et préciser leurs tailles.
- Calculer $AB$ et $BA$.
- Comparer $\operatorname{tr}(AB)$ et $\operatorname{tr}(BA)$.
- Montrer que $BA$ n'est pas inversible, en exhibant une colonne $X\neq0$ telle que $BAX=0$.
Le coefficient $(i,j)$ d'un produit combine la ligne $i$ du facteur de gauche et la colonne $j$ du facteur de droite.
Pour la question 4, chercher d'abord $X\neq0$ tel que $AX=0$ : c'est un système de 2 équations à 3 inconnues.
Si $AX=0$, alors $BAX=B(AX)=0$.
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$A$ a $3$ colonnes et $B$ a $3$ lignes : $AB$ existe et $AB\in\mathcal M_2(\mathbb R)$. $B$ a $2$ colonnes et $A$ a $2$ lignes : $BA$ existe et $BA\in\mathcal M_3(\mathbb R)$.
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Pour $AB$ :
- $(AB)_{11}=1\times2+(-1)\times1+2\times(-1)=-1$, $(AB)_{12}=1\times1+(-1)\times0+2\times4=9$ ;
- $(AB)_{21}=0\times2+3\times1+1\times(-1)=2$, $(AB)_{22}=0+0+1\times4=4$. $$AB=\begin{pmatrix}-1&9\\2&4\end{pmatrix}.$$ Pour $BA$, la ligne $(2,1)$ de $B$ donne $2\times1+1\times0=2$, $2\times(-1)+1\times3=1$, $2\times2+1\times1=5$ ; la ligne $(1,0)$ donne $1,-1,2$ ; la ligne $(-1,4)$ donne $-1$, $1+12=13$, $-2+4=2$. $$BA=\begin{pmatrix}2&1&5\\1&-1&2\\-1&13&2\end{pmatrix}.$$
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$\operatorname{tr}(AB)=-1+4=3$ et $\operatorname{tr}(BA)=2-1+2=3$. Les traces sont égales, conformément à la propriété $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$, valable même si $AB$ et $BA$ n'ont pas la même taille.
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On résout $AX=0$ avec $X=(x,y,z)^\top$ : $$\begin{cases}x-y+2z=0\\3y+z=0\end{cases}\iff\begin{cases}z=-3y\\x=y-2z=7y.\end{cases}$$ Avec $y=1$ : $X=(7,1,-3)^\top\neq0$ et $AX=0$. Alors $BAX=B(AX)=B\cdot0=0$. Vérification sur $BA$ : $14+1-15=0$, $7-1-6=0$, $-7+13-6=0$.
Ainsi $\operatorname{Ker}(BA)\neq\{0\}$ : par la caractérisation des matrices inversibles, $BA$ n'est pas inversible. Plus généralement, $\operatorname{Im}(BA)\subset\operatorname{Im}B$ donne $\operatorname{rg}(BA)\le2<3$.
$AB=\begin{pmatrix}-1&9\\2&4\end{pmatrix}$, $BA=\begin{pmatrix}2&1&5\\1&-1&2\\-1&13&2\end{pmatrix}$, $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)=3$, $BA$ non inversible