Trace d'un projecteur : énoncé (MPSI)
Trace d'un projecteur
Si $p$ est un projecteur de $E$ ($p\circ p=p$), alors $$\operatorname{tr}p=\operatorname{rg}p.$$
Démonstration : Trace d'un projecteur
Trace d'un projecteur
Pour un projecteur, $E=\operatorname{Im}p\oplus\operatorname{Ker}p$ et $p(x)=x$ pour $x\in\operatorname{Im}p$. Soit $r=\operatorname{rg}p$. Dans une base adaptée à cette somme directe (une base de $\operatorname{Im}p$ suivie d'une base de $\operatorname{Ker}p$), la matrice de $p$ est $$\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix},$$ dont la trace vaut $r$.
Une équation sans solution
Il n'existe pas de matrices $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ telles que $AB-BA=I_n$.
En effet, par linéarité de la trace et $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$, on aurait $\operatorname{tr}(AB-BA)=0$, alors que $\operatorname{tr}I_n=n\neq0$.
Utiliser la trace pour séparer des matrices
$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&5\\0&3\end{pmatrix}$ sont toutes deux de rang $2$, donc équivalentes. Mais $\operatorname{tr}A=3$ et $\operatorname{tr}B=4$ : elles ne sont pas semblables.
En revanche, une trace égale ne prouve rien : $I_2$ et $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ont toutes deux pour trace $2$ sans être semblables (section 4).
Ce que la trace ne fait pas
- $\operatorname{tr}(AB)\neq\operatorname{tr}A\times\operatorname{tr}B$ en général : avec $A=B=I_2$, $\operatorname{tr}(AB)=2$ et $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B=4$.
- On peut permuter circulairement : $\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB)$. Mais $\operatorname{tr}(ABC)\neq\operatorname{tr}(BAC)$ en général.
S’entraîner
- Produits dans les deux sens
- Trace de $A^\top A$ et matrices symétriques nilpotentes
- Les formes linéaires sur $\mathcal M_n(\mathbb K)$
- Une algèbre de matrices (type CCINP)
- Matrices de trace nulle et commutateurs (type Mines-Ponts)