Exercice corrigé : Matrices de trace nulle et commutateurs (type Mines-Ponts)

Soit $n\ge1$, $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et $E=\mathbb K^n$. On veut montrer qu'une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ est de trace nulle si et seulement s'il existe $X,Y\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ telles que $A=XY-YX$.

1. Soit $u\in\mathcal L(E)$ tel que, pour tout $x\in E$, la famille $(x,u(x))$ soit liée. Montrer que $u$ est une homothétie.
2. Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ qui n'est pas de la forme $\lambda I_n$. Montrer que $n\ge2$ et qu'il existe $P\in GL_n(\mathbb K)$ telle que la première colonne de $P^{-1}AP$ soit $(0,1,0,\dots,0)^\top$.
3. Montrer par récurrence sur $n$ que toute matrice de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ de trace nulle est semblable à une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont nuls.
4. Soit $D=\operatorname{diag}(1,2,\dots,n)$. Calculer $(DC-CD)_{ij}$ pour $C\in\mathcal M_n(\mathbb K)$. En déduire que toute matrice $B$ de diagonale nulle s'écrit $B=DC-CD$.
5. Conclure.
6. Pour $n=2$ et $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$, vérifier que $A=E_{12}E_{21}-E_{21}E_{12}$.