Calculer une trace avec des sommes doublesUtiliser la transpositionRaisonner par récurrence sur les puissances
- Pour $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)$, montrer que $\operatorname{tr}(A^\top A)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^pa_{ij}^2$.
- En déduire que, si $A^\top A=0$, alors $A=0$.
- Soit $S\in\mathcal S_n(\mathbb R)$ telle que $S^2=0$. Montrer que $S=0$.
- Plus généralement, soit $S\in\mathcal S_n(\mathbb R)$ et $m\ge1$ tel que $S^m=0$. Montrer que $S=0$.
- Vérifier que $B=\begin{pmatrix}1&i\\i&-1\end{pmatrix}\in\mathcal M_2(\mathbb C)$ est symétrique, non nulle, et vérifie $B^2=0$. Quelle hypothèse de la question 3 est essentielle ?
Indice 1
$A^\top A\in\mathcal M_p(\mathbb R)$ : écrire son coefficient diagonal $(j,j)$.
Indice 2
Une somme de carrés de réels est nulle si et seulement si chaque terme est nul.
Indice 3
Pour 4, choisir $k$ avec $2^k\ge m$ et descendre de $S^{2^k}$ à $S$ en appliquant 3 à des puissances de $S$, qui sont symétriques.
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