Invariance par similitude, trace d'un endomorphisme : énoncé (MPSI)
Invariance par similitude, trace d'un endomorphisme
Deux matrices semblables ont la même trace. On peut donc définir la trace d'un endomorphisme $u$ de $E$ (de dimension finie) par $\operatorname{tr}u=\operatorname{tr}\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(u)$, indépendamment de la base $\mathcal B$ choisie. On a $\operatorname{tr}(u\circ v)=\operatorname{tr}(v\circ u)$.
Démonstration : Invariance par similitude, trace d'un endomorphisme
Invariance par similitude
Si $A'=P^{-1}AP$, alors en appliquant $\operatorname{tr}(MN)=\operatorname{tr}(NM)$ avec $M=P^{-1}A$ et $N=P$ : $$\operatorname{tr}A'=\operatorname{tr}\big((P^{-1}A)P\big)=\operatorname{tr}\big(P(P^{-1}A)\big)=\operatorname{tr}A.$$ Deux matrices d'un même endomorphisme dans deux bases sont semblables, donc ont la même trace.
S’entraîner
- Produits dans les deux sens
- Matrice d'un endomorphisme de polynômes
- Réduction en une matrice triangulaire
- Trace de $A^\top A$ et matrices symétriques nilpotentes
- Semblables ou non
Dans le cours
Matrices : Invariance par similitude, trace d'un endomorphisme