Prépa, 1re année › Matrices › Stabilités et décomposition
Stabilités et décomposition : énoncé (MPSI)
Propriété
Stabilités et décomposition
- Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieure, et ses coefficients diagonaux sont les produits $a_{ii}b_{ii}$. Même chose pour les matrices diagonales.
- $\mathcal S_n(\mathbb K)$ et $\mathcal A_n(\mathbb K)$ sont des sous-espaces supplémentaires de $\mathcal M_n(\mathbb K)$, de dimensions $\frac{n(n+1)}2$ et $\frac{n(n-1)}2$. La décomposition est $$A=\frac{A+A^\top}{2}+\frac{A-A^\top}{2}.$$
Démonstration : Stabilités et décomposition
Démonstration
Produit de matrices triangulaires
Soit $A,B$ triangulaires supérieures et $i>j$. Dans $(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$, on a $a_{ik}=0$ si $k<i$ et $b_{kj}=0$ si $k>j$. Un terme non nul exigerait $i\le k\le j$, ce qui est impossible puisque $i>j$. Donc $(AB)_{ij}=0$.
Pour $i=j$, seul $k=i$ donne un terme potentiellement non nul : $(AB)_{ii}=a_{ii}b_{ii}$.