Prépa, 1re année › Matrices › Produit de matrices élémentaires
Produit de matrices élémentaires : énoncé (MPSI)
Propriété
Produit de matrices élémentaires
Dans $\mathcal M_n(\mathbb K)$, pour tous $i,j,k,l$ : $$E_{ij}E_{kl}=\delta_{jk}E_{il}.$$
Démonstration : Produit de matrices élémentaires
Démonstration
Produit des $E_{ij}$
Pour tous $a,b$ : $$(E_{ij}E_{kl})_{ab}=\sum_{m=1}^n(E_{ij})_{am}(E_{kl})_{mb}=\sum_{m=1}^n\delta_{ia}\delta_{jm}\delta_{km}\delta_{lb}.$$ Dans la somme, seul le terme $m=j$ peut être non nul, et il vaut $\delta_{ia}\delta_{jk}\delta_{lb}$. Or $\delta_{jk}(E_{il})_{ab}=\delta_{jk}\delta_{ia}\delta_{lb}$. Les deux matrices ont les mêmes coefficients, d'où l'égalité.
S’entraîner
- Produits dans les deux sens
- Rang, noyau, image et équivalence
- Réduction en une matrice triangulaire
- Trace de $A^\top A$ et matrices symétriques nilpotentes
- Semblables ou non