Matrices et opérations linéaires : définition (MPSI)

Dans tout le chapitre, $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$, et $n,p,q\in\mathbb N^*$.

Une matrice à $n$ lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $\mathbb K$ est une famille $A=(a_{ij})_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p}$ d'éléments de $\mathbb K$. Le coefficient $a_{ij}$ est situé en ligne $i$, colonne $j$. On note $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ l'ensemble de ces matrices et $\mathcal M_n(\mathbb K)=\mathcal M_{n,n}(\mathbb K)$ (matrices carrées).

Somme et produit par un scalaire se font coefficient par coefficient : $$(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\qquad (\lambda A)_{ij}=\lambda a_{ij}.$$

Pour $(i,j)$ fixé, la matrice élémentaire $E_{ij}$ a tous ses coefficients nuls sauf celui en position $(i,j)$, égal à $1$ : $(E_{ij})_{ab}=\delta_{ia}\delta_{jb}$.