Calculer les puissances $A^n$ : méthode (MPSI)

1. Petites puissances : calculer $A^2$, $A^3$, conjecturer, puis démontrer par récurrence.
2. Binôme : écrire $A=\lambda I_n+N$ avec $N$ nilpotente ($N^r=0$) ; la somme du binôme s'arrête au rang $r-1$.
3. Polynôme annulateur : si $P(A)=0$, effectuer la division euclidienne $X^n=Q_nP+R_n$ ; alors $A^n=R_n(A)$.
4. Changement de base : si $A=PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale, alors $A^n=PD^nP^{-1}$ (section 4).

Illustration de 3 : $B=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ vérifie $B^2=\begin{pmatrix}10&6\\6&10\end{pmatrix}=6B-8I_2$, donc $(X-2)(X-4)$ annule $B$. On écrit $X^n=Q_n(X)(X-2)(X-4)+a_nX+b_n$. En évaluant en $2$ et $4$ : $2a_n+b_n=2^n$ et $4a_n+b_n=4^n$, d'où $a_n=\frac{4^n-2^n}2$ et $b_n=2^{n+1}-4^n$. Alors $$B^n=a_nB+b_nI_2=\frac12\begin{pmatrix}4^n+2^n&4^n-2^n\\4^n-2^n&4^n+2^n\end{pmatrix}.$$