Résoudre une équation du second degré à coefficients complexesCalculer une racine carrée sous forme algébriqueUtiliser les relations coefficients-racines
- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-(5+i)z+8+4i=0$. Contrôler le résultat avec les relations entre coefficients et racines.
- Soit $\theta\in\mathbb{R}$. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-2\cos\theta\, z+1=0$ et donner les solutions sous forme exponentielle.
Indice 1
Calculer le discriminant ; on doit trouver $\Delta=-8-6i$.
Indice 2
Chercher $\delta=x+iy$ avec $\delta^2=\Delta$ par le système à trois équations.
Indice 3
Pour la question 2, écrire $\cos^2\theta-1=-\sin^2\theta$ et proposer une racine carrée évidente du discriminant.
Corrigé
- Discriminant : $$\Delta=(5+i)^2-4(8+4i)=25+10i-1-32-16i=-8-6i.$$ On cherche $\delta=x+iy$ ($x,y$ réels) avec $\delta^2=\Delta$ : $x^2-y^2=-8$, $x^2+y^2=|\Delta|=\sqrt{64+36}=10$, $2xy=-6$. Donc $x^2=1$, $y^2=9$ et $xy<0$ : on prend $\delta=1-3i$. Vérification : $(1-3i)^2=1-6i-9=-8-6i$.
Les solutions sont $$z_1=\frac{5+i+1-3i}{2}=\frac{6-2i}{2}=3-i,\qquad z_2=\frac{5+i-1+3i}{2}=\frac{4+4i}{2}=2+2i.$$ Contrôle : $z_1+z_2=5+i$ et $z_1z_2=(3-i)(2+2i)=6+6i-2i+2=8+4i$, conformes à $-\frac ba$ et $\frac ca$.
- Discriminant : $\Delta=4\cos^2\theta-4=-4\sin^2\theta=(2i\sin\theta)^2$. On prend $\delta=2i\sin\theta$. Les solutions sont $$z=\frac{2\cos\theta\pm2i\sin\theta}{2}=\cos\theta\pm i\sin\theta,$$ c'est-à-dire $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$. Elles sont distinctes si $\sin\theta\neq0$ ; si $\theta\in\pi\mathbb{Z}$, $\Delta=0$ et il y a une racine double $\cos\theta=e^{i\theta}\in\{-1,1\}$. Contrôle : $e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$ et $e^{i\theta}e^{-i\theta}=1$.
Résultat :
$\{3-i,\ 2+2i\}$ ; $\{e^{i\theta},e^{-i\theta}\}$