Déterminer les racines n-ièmes d'un complexeInterpréter géométriquement les racines n-ièmes
- Écrire $a=-8+8i\sqrt3$ sous forme trigonométrique.
- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^4=a$. Donner les solutions sous forme exponentielle puis algébrique.
- Décrire la figure formée par les points images des solutions.
Indice 1
Calculer $|a|$ puis reconnaître le cosinus et le sinus d'un angle remarquable.
Indice 2
Les solutions sont $|a|^{1/4}e^{i(\alpha+2k\pi)/4}$ pour $k\in\{0,1,2,3\}$.
Indice 3
Comparer $z_{k+1}$ et $z_k$ : par quel complexe passe-t-on de l'un à l'autre ?
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