On pose $z_1=\sqrt3-i$ et $z_2=-2-2i$.
- Donner la forme trigonométrique de $z_1$ et de $z_2$.
- Calculer $z_1z_2$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique avec l'argument principal.
- En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac{11\pi}{12}$ et $\sin\frac{11\pi}{12}$, puis de $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$.
- Déterminer le plus petit entier $n\geqslant1$ tel que $z_1^n$ soit un réel strictement positif, et calculer $z_1^n$ pour cet entier.
Pour chaque nombre, calculer le module, le mettre en facteur et identifier un angle dont le cosinus et le sinus conviennent tous les deux.
Le module d'un produit est le produit des modules, un argument du produit est la somme des arguments.
Identifier les parties réelles et imaginaires des deux écritures de $z_1z_2$, puis utiliser $\frac{\pi}{12}=\pi-\frac{11\pi}{12}$.
$e^{i\theta}=1$ si et seulement si $\theta\in2\pi\mathbb{Z}$.
- $|z_1|=\sqrt{3+1}=2$ et $z_1=2\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right)$. L'angle $\theta=-\frac\pi6$ vérifie $\cos\theta=\frac{\sqrt3}2$ et $\sin\theta=-\frac12$, donc $z_1=2e^{-i\pi/6}$.
$|z_2|=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$ et $z_2=2\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i\right)$. L'angle $-\frac{3\pi}{4}$ a pour cosinus $-\frac{\sqrt2}2$ et pour sinus $-\frac{\sqrt2}2$, donc $z_2=2\sqrt2\,e^{-3i\pi/4}$.
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Forme algébrique : $$z_1z_2=(\sqrt3-i)(-2-2i)=-2\sqrt3-2\sqrt3\,i+2i+2i^2=-2(\sqrt3+1)+2(1-\sqrt3)\,i.$$ Forme trigonométrique : $z_1z_2=2\cdot2\sqrt2\,e^{i(-\pi/6-3\pi/4)}=4\sqrt2\,e^{-11i\pi/12}$, et $-\frac{11\pi}{12}\in]-\pi,\pi]$, c'est donc l'argument principal. Contrôle du module : $4(\sqrt3+1)^2+4(\sqrt3-1)^2=4\times 8=32=(4\sqrt2)^2$.
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En identifiant les deux écritures (parties réelles et imaginaires, qui sont réelles) : $$\cos\left(-\frac{11\pi}{12}\right)=\frac{-2(\sqrt3+1)}{4\sqrt2}=-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\qquad \sin\left(-\frac{11\pi}{12}\right)=\frac{2(1-\sqrt3)}{4\sqrt2}=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}.$$ Par parité, $\cos\frac{11\pi}{12}=-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$ et $\sin\frac{11\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$. Comme $\frac\pi{12}=\pi-\frac{11\pi}{12}$, on a $\cos\frac\pi{12}=-\cos\frac{11\pi}{12}$ et $\sin\frac\pi{12}=\sin\frac{11\pi}{12}$ : $$\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\qquad\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$
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Par Moivre, $z_1^n=2^ne^{-in\pi/6}$ avec $2^n>0$. Donc $z_1^n\in\mathbb{R}_+^*$ si et seulement si $e^{-in\pi/6}=1$, c'est-à-dire $\frac{n\pi}{6}\in2\pi\mathbb{Z}$, soit $n\in12\mathbb{Z}$. Le plus petit entier $n\geqslant1$ est $n=12$, et $z_1^{12}=2^{12}=4096$.
$z_1z_2=4\sqrt2\,e^{-11i\pi/12}$ ; $\cos\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$, $\sin\frac\pi{12}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4$ ; $n=12$, $z_1^{12}=4096$