Déterminer une partie entière : méthode (MPSI)
Déterminer une partie entière
Pour montrer que $\lfloor y \rfloor = n$ :
- proposer un entier $n$ candidat (calcul approché, cas particuliers) ;
- démontrer l'encadrement $n \le y < n + 1$ ;
- conclure par unicité.
Pour une égalité qui dépend de la position de $x$ entre deux entiers, on écrit $x = \lfloor x \rfloor + t$ avec $t = x - \lfloor x \rfloor \in [0, 1[$, puis on distingue des cas sur $t$.
Partie entière d'une racine
Pour $n \in \mathbb{N}$, calculons $\left\lfloor \sqrt{n^2 + n} \right\rfloor$. On a $$n^2 \le n^2 + n < n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2,$$ la seconde inégalité étant stricte car $n < 2n + 1$. La racine carrée est croissante sur $\mathbb{R}_+$ et strictement croissante, donc $n \le \sqrt{n^2 + n} < n + 1$. Par unicité, $\left\lfloor \sqrt{n^2 + n} \right\rfloor = n$.
Une identité classique
Montrons que pour tout réel $x$, $\lfloor 2x \rfloor = \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac{1}{2} \right\rfloor$.
On écrit $x = n + t$ avec $n = \lfloor x \rfloor$ et $t \in [0, 1[$. Par le point 3 des propriétés, $\lfloor 2x \rfloor = 2n + \lfloor 2t \rfloor$ et $\left\lfloor x + \tfrac12 \right\rfloor = n + \left\lfloor t + \tfrac12 \right\rfloor$.
- Si $0 \le t < \tfrac12$ : $2t \in [0, 1[$ et $t + \tfrac12 \in [\tfrac12, 1[$, donc $\lfloor 2x \rfloor = 2n$ et $\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac12 \right\rfloor = n + n = 2n$.
- Si $\tfrac12 \le t < 1$ : $2t \in [1, 2[$ et $t + \tfrac12 \in [1, \tfrac32[$, donc $\lfloor 2x \rfloor = 2n + 1$ et $\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \tfrac12 \right\rfloor = n + (n + 1) = 2n + 1$.
L'égalité est vraie dans les deux cas.
S’entraîner
- Parties entières et valeurs décimales approchées
- Bornes d'une partie définie par une suite
- Équations avec partie entière
- Deux propriétés de la partie entière
- Bornes supérieure et inférieure avec epsilon