Définition de la partie entière : énoncé (MPSI)
Définition de la partie entière
Pour tout réel $x$, il existe un unique entier relatif $n$ tel que $$n \le x < n + 1.$$ Cet entier s'appelle la partie entière de $x$ et se note $\lfloor x \rfloor$. C'est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$.
Démonstration : Définition de la partie entière
Existence et unicité
Existence. On pose $E = \{n \in \mathbb{Z} \mid n \le x\}$.
- $E$ est non vide : par la propriété d'Archimède, il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $m > -x$, donc $-m < x$ et $-m \in E$.
- $E$ est majorée par un entier : par la propriété d'Archimède, il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $N > x$, et alors tout élément de $E$ est inférieur à $N$.
Une partie non vide et majorée de $\mathbb{Z}$ admet un plus grand élément $p$. On a $p \le x$ car $p \in E$, et $p + 1 > x$ car $p + 1 \notin E$ (il est strictement plus grand que le maximum). Donc $p \le x < p + 1$.
Unicité. Si $n$ et $m$ sont deux entiers vérifiant $n \le x < n + 1$ et $m \le x < m + 1$, alors $x - 1 < n \le x$ et $-x \le -m < -x + 1$. En additionnant, $-1 < n - m < 1$. Comme $n - m$ est un entier, $n - m = 0$.
Premières valeurs
$\lfloor 3{,}7 \rfloor = 3$ ; $\lfloor \pi \rfloor = 3$ ; $\lfloor -5 \rfloor = -5$ ; $\lfloor -3{,}7 \rfloor = -4$ car $-4 \le -3{,}7 < -3$ ; $\lfloor -0{,}2 \rfloor = -1$.
Partie entière et troncature
Pour un réel négatif non entier, la partie entière n'est pas obtenue en « effaçant les décimales ». On a $\lfloor -2{,}5 \rfloor = -3$, et non $-2$. On revient toujours à la définition $n \le x < n + 1$.
S’entraîner
- Parties entières et valeurs décimales approchées
- Bornes d'une partie définie par une suite
- Équations avec partie entière
- Deux propriétés de la partie entière
- Identité de Hermite