Propriétés de la partie entière : énoncé (MPSI)

Point 3 : $\lfloor x \rfloor + k$ est un entier et $\lfloor x \rfloor + k \le x + k < \lfloor x \rfloor + k + 1$. Par unicité, c'est $\lfloor x + k \rfloor$.

Point 4 : si $x \le y$, alors $\lfloor x \rfloor \le x \le y$. Ainsi $\lfloor x \rfloor$ est un entier inférieur ou égal à $y$ ; il est donc inférieur ou égal au plus grand d'entre eux, $\lfloor y \rfloor$.

Point 5 : $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ est un entier inférieur ou égal à $x + y$, donc inférieur ou égal à $\lfloor x + y \rfloor$. Par ailleurs $x + y < \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 2$, donc $\lfloor x + y \rfloor \le x + y < \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 2$. L'entier $\lfloor x + y \rfloor$ est strictement inférieur à l'entier $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 2$, donc inférieur ou égal à $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$.

Point 6 : si $x \notin \mathbb{Z}$, on a $\lfloor x \rfloor < x < \lfloor x \rfloor + 1$ (inégalités strictes). Donc $-\lfloor x \rfloor - 1 < -x < -\lfloor x \rfloor$, d'où $-\lfloor x \rfloor - 1 \le -x < (-\lfloor x \rfloor - 1) + 1$ et $\lfloor -x \rfloor = -\lfloor x \rfloor - 1$. Le cas $x \in \mathbb{Z}$ découle du point 2.