Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $x \in \mathbb{R}$, on pose $$f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor - \lfloor nx \rfloor.$$
- Montrer que pour tout réel $x$, $f\left(x + \dfrac1n\right) = f(x)$.
- Montrer que $f$ est nulle sur $\left[0, \dfrac1n\right[$.
- En déduire que pour tout réel $x$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k}{n} \right\rfloor = \lfloor nx \rfloor$.
- Retrouver l'identité $\lfloor 2x \rfloor = \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac12 \right\rfloor$, puis calculer $\left\lfloor \frac76 \right\rfloor + \left\lfloor \frac76 + \frac13 \right\rfloor + \left\lfloor \frac76 + \frac23 \right\rfloor$ de deux façons.
Dans $f\left(x + \frac1n\right)$, faire le changement d'indice $j = k + 1$ ; le terme $j = n$ fait apparaître $\lfloor x + 1 \rfloor$.
Pour 2, encadrer chaque $x + \frac kn$ entre $0$ et $1$.
Pour 3, poser $m = \lfloor nx \rfloor$ et $y = x - \frac mn$ : montrer que $y \in \left[0, \frac1n\right[$.
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Soit $x$ réel. Comme $n\left(x + \frac1n\right) = nx + 1$ et $1 \in \mathbb{Z}$, $\lfloor nx + 1 \rfloor = \lfloor nx \rfloor + 1$. Avec $j = k + 1$ : $$\sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k+1}{n} \right\rfloor = \sum_{j=1}^{n} \left\lfloor x + \frac{j}{n} \right\rfloor = \sum_{j=1}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{j}{n} \right\rfloor + \lfloor x + 1 \rfloor = \sum_{j=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{j}{n} \right\rfloor + 1,$$ car $\lfloor x + 1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1$ est le terme $j = 0$ augmenté de $1$. Donc $f\left(x + \frac1n\right) = \displaystyle\sum_{j=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{j}{n} \right\rfloor + 1 - \lfloor nx \rfloor - 1 = f(x)$.
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Soit $x \in \left[0, \frac1n\right[$. Alors $0 \le nx < 1$, donc $\lfloor nx \rfloor = 0$. Pour $0 \le k \le n - 1$ : $0 \le x + \dfrac kn < \dfrac1n + \dfrac{n-1}{n} = 1$, donc $\left\lfloor x + \frac kn \right\rfloor = 0$. Ainsi $f(x) = 0$.
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En appliquant la question 1 à $x - \frac1n$, on obtient aussi $f\left(x - \frac1n\right) = f(x)$. Par récurrence, $f\left(x + \frac mn\right) = f(x)$ pour tout $m \in \mathbb{Z}$.
Soit $x$ réel. On pose $m = \lfloor nx \rfloor \in \mathbb{Z}$ et $y = x - \dfrac mn$. De $m \le nx < m + 1$ on tire $0 \le ny < 1$, donc $y \in \left[0, \frac1n\right[$. Alors $f(x) = f\left(y + \frac mn\right) = f(y) = 0$ par la question 2. D'où l'identité.
- Pour $n = 2$, l'identité s'écrit $\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac12 \right\rfloor = \lfloor 2x \rfloor$.
Pour $n = 3$ et $x = \frac76$, l'identité donne $\left\lfloor 3 \times \frac76 \right\rfloor = \left\lfloor \frac72 \right\rfloor = 3$. Calcul direct : $\frac76 \in [1, 2[$, $\frac76 + \frac13 = \frac32 \in [1, 2[$ et $\frac76 + \frac23 = \frac{11}{6} \in [1, 2[$, d'où la somme $1 + 1 + 1 = 3$.
$\sum_{k=0}^{n-1} \lfloor x + \frac{k}{n} \rfloor = \lfloor nx \rfloor$ ; la somme demandée vaut $3$