Prépa, 1re année › Polynômes › Factoriser un polynôme dans C[X] puis R[X]

Factoriser un polynôme dans C[X] puis R[X] : méthode (MPSI)

Méthode

Factoriser un polynôme dans C[X] puis R[X]

Chercher toutes les racines complexes avec leur multiplicité (racines évidentes, racines $n$-ièmes, changement de variable, dérivées pour la multiplicité).
Écrire la factorisation dans $\mathbb{C}[X]$ : $\lambda\prod(X-a_i)^{m_i}$.
Pour $\mathbb{R}[X]$ : garder les facteurs réels, regrouper chaque racine non réelle $z$ avec $\overline{z}$ via $(X-z)(X-\overline{z})=X^2-2\,\mathrm{Re}(z)X+|z|^2$.
Contrôler le degré total et, si possible, redévelopper.

Exemple

Factorisation de X^n−1

Avec $\omega=e^{2i\pi/n}$, les racines de $X^n-1$ sont les $n$ racines $n$-ièmes de l'unité, toutes simples : $$X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-\omega^k).$$ Dans $\mathbb{R}[X]$, on associe $\omega^k$ et $\omega^{n-k}=\overline{\omega^k}$ : $(X-\omega^k)(X-\omega^{n-k})=X^2-2\cos\dfrac{2k\pi}{n}X+1$.

Si $n$ est impair : $X^n-1=(X-1)\prod_{k=1}^{(n-1)/2}\Big(X^2-2\cos\dfrac{2k\pi}{n}X+1\Big)$.
Si $n$ est pair : $X^n-1=(X-1)(X+1)\prod_{k=1}^{n/2-1}\Big(X^2-2\cos\dfrac{2k\pi}{n}X+1\Big)$.

Pour $n=6$ : $X^6-1=(X-1)(X+1)(X^2-X+1)(X^2+X+1)$.

Exemple

Factorisation de X^4+1

Les racines sont les $z$ tels que $z^4=-1=e^{i\pi}$ : $e^{i\pi/4}$, $e^{3i\pi/4}$, $e^{5i\pi/4}$, $e^{7i\pi/4}$, simples. On regroupe $e^{\pm i\pi/4}$ (partie réelle $\frac{\sqrt2}{2}$) et $e^{\pm 3i\pi/4}$ (partie réelle $-\frac{\sqrt2}{2}$) : $$X^4+1=(X^2-\sqrt2X+1)(X^2+\sqrt2X+1).$$ Vérification directe : $X^4+1=(X^2+1)^2-2X^2$, différence de deux carrés.

Attention

Sans racine réelle ne veut pas dire irréductible

$X^4+1$ n'a aucune racine réelle, mais il n'est pas irréductible dans $\mathbb{R}[X]$. L'absence de racine réelle ne prouve l'irréductibilité qu'en degré $2$ (ou $3$, où elle est impossible). En degré $\geq 3$, il n'existe aucun irréductible dans $\mathbb{R}[X]$.

S’entraîner

Dans le cours

Polynômes : Factoriser un polynôme dans C[X] puis R[X]