Prépa, 1re année › Polynômes › Racines conjuguées d'un polynôme réel
Racines conjuguées d'un polynôme réel : énoncé (MPSI)
Propriété
Racines conjuguées d'un polynôme réel
Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ et $z\in\mathbb{C}$. Alors $P(\overline{z})=\overline{P(z)}$. Si $z$ est racine de $P$ de multiplicité $m$, alors $\overline{z}$ est racine de $P$ de même multiplicité $m$.
Démonstration : Racines conjuguées d'un polynôme réel
Démonstration
Racines conjuguées
Si $P=\sum a_kX^k$ avec $a_k\in\mathbb{R}$, alors $\overline{P(z)}=\sum\overline{a_k}\,\overline{z}^k=\sum a_k\overline{z}^k=P(\overline{z})$.
Les dérivées $P^{(k)}$ sont aussi à coefficients réels, donc $P^{(k)}(\overline{z})=\overline{P^{(k)}(z)}$, et $P^{(k)}(\overline{z})=0\iff P^{(k)}(z)=0$. Par la caractérisation de la multiplicité par les dérivées, $z$ et $\overline{z}$ ont la même multiplicité.
S’entraîner
- Poser une division euclidienne
- Sommes symétriques des racines d'un polynôme de degré 3
- Reste de X^n par un diviseur ayant une racine double
- Factorisation de X^6+8 et de X^4+X^2+1
- Interpolation en quatre points