On considère les abscisses $x_0=-1$, $x_1=0$, $x_2=1$, $x_3=2$.
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Écrire les polynômes de Lagrange $L_0,L_1,L_2,L_3$ associés.
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En déduire l'unique $P\in\mathbb{R}_3[X]$ tel que $P(-1)=2$, $P(0)=1$, $P(1)=0$, $P(2)=5$.
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Déterminer tous les $Q\in\mathbb{R}[X]$ vérifiant les mêmes conditions, puis l'unique d'entre eux qui est unitaire de degré $4$.
Le dénominateur de $L_i$ est la valeur en $x_i$ de son numérateur.
Comme $y_2=0$, le polynôme $L_2$ n'intervient pas dans $P$.
Pour la question 3, examiner le degré de $P+WS$ selon le degré de $S$, où $W=(X+1)X(X-1)(X-2)$.
Les abscisses sont deux à deux distinctes.
1. $$L_0=\frac{X(X-1)(X-2)}{(-1)(-2)(-3)}=-\frac{X(X-1)(X-2)}{6},\qquad L_1=\frac{(X+1)(X-1)(X-2)}{1\times(-1)\times(-2)}=\frac{(X+1)(X-1)(X-2)}{2},$$ $$L_2=\frac{(X+1)X(X-2)}{2\times1\times(-1)}=-\frac{(X+1)X(X-2)}{2},\qquad L_3=\frac{(X+1)X(X-1)}{3\times2\times1}=\frac{(X+1)X(X-1)}{6}.$$
2. $P=2L_0+L_1+0\cdot L_2+5L_3$. On développe : $$X(X-1)(X-2)=X^3-3X^2+2X,\quad (X+1)(X-1)(X-2)=X^3-2X^2-X+2,\quad (X+1)X(X-1)=X^3-X.$$ Avec le dénominateur commun $6$ : $$6P=-2(X^3-3X^2+2X)+3(X^3-2X^2-X+2)+5(X^3-X)=6X^3-12X+6.$$ Donc $$P=X^3-2X+1.$$ Contrôle : $P(-1)=-1+2+1=2$, $P(0)=1$, $P(1)=0$, $P(2)=8-4+1=5$.
3. D'après le cours, les solutions sont les $Q=P+WS$ avec $S\in\mathbb{R}[X]$ et $W=(X+1)X(X-1)(X-2)$, unitaire de degré $4$.
Si $S=0$, $\deg Q=3$. Si $\deg S\geq 1$, $\deg(WS)\geq 5>\deg P$, donc $\deg Q\geq 5$. Donc $Q$ est de degré $4$ si et seulement si $S$ est une constante $s\neq 0$, et alors le coefficient dominant de $Q$ est $s$. $Q$ est unitaire de degré $4$ si et seulement si $s=1$. Comme $W=(X^2-1)(X^2-2X)=X^4-2X^3-X^2+2X$ : $$Q=X^4-2X^3-X^2+2X+X^3-2X+1=X^4-X^3-X^2+1.$$ Contrôle : $Q(-1)=1+1-1+1=2$, $Q(0)=1$, $Q(1)=0$, $Q(2)=16-8-4+1=5$.
$P=X^3-2X+1$ ; solutions $P+(X+1)X(X-1)(X-2)S$ ; $Q=X^4-X^3-X^2+1$