Caractérisation de la multiplicité par les dérivées : énoncé (MPSI)
Caractérisation de la multiplicité par les dérivées
Soient $P\neq 0$, $a\in\mathbb{K}$ et $m\in\mathbb{N}^*$. Le scalaire $a$ est racine de multiplicité $m$ de $P$ si et seulement si $$P(a)=P'(a)=\cdots=P^{(m-1)}(a)=0\qquad\text{et}\qquad P^{(m)}(a)\neq 0 .$$ En particulier, $a$ est racine multiple de $P$ si et seulement si $P(a)=P'(a)=0$.
Démonstration : Caractérisation de la multiplicité par les dérivées
Caractérisation de la multiplicité
Sens direct. Écrivons $P=(X-a)^mQ$ avec $Q(a)\neq 0$. Par la formule de Leibniz, pour tout $k$ : $$P^{(k)}(a)=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}\big((X-a)^m\big)^{(i)}(a)\,Q^{(k-i)}(a).$$ Le facteur $\big((X-a)^m\big)^{(i)}(a)$ est nul sauf pour $i=m$. Si $k<m$, l'indice $i=m$ n'apparaît pas : $P^{(k)}(a)=0$. Si $k=m$, il reste $P^{(m)}(a)=m!\,Q(a)\neq 0$.
Réciproque. Soit $n=\deg P$ (on a $n\geq m$ car $P^{(m)}\neq 0$). Par la formule de Taylor, les termes d'indice $k<m$ sont nuls, donc $$P=(X-a)^mQ\quad\text{avec}\quad Q=\sum_{k=m}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^{k-m},$$ et $Q(a)=\dfrac{P^{(m)}(a)}{m!}\neq 0$. Donc $a$ est racine de multiplicité $m$.
S’entraîner
- Multiplicité d'une racine et factorisation
- Sommes symétriques des racines d'un polynôme de degré 3
- Divisibilité par (X−1)^2 et quotient explicite
- Divisibilité par X^2+X+1
Dans le cours
Polynômes : Caractérisation de la multiplicité par les dérivées