Déterminer la multiplicité d'une racine : méthode (MPSI)
Déterminer la multiplicité d'une racine
Pour trouver l'ordre de multiplicité de $a$ dans $P$ :
- Vérifier que $P(a)=0$.
- Calculer $P'(a)$, $P''(a)$, … jusqu'à la première dérivée qui ne s'annule pas en $a$.
- Si $P^{(m)}(a)$ est la première valeur non nulle, la multiplicité est $m$.
Pour factoriser ensuite, on peut diviser $P$ par $(X-a)^m$ ou utiliser directement la formule de Taylor en $a$.
Une racine triple
Soit $P=X^4-5X^3+6X^2+4X-8$ et $a=2$.
- $P(2)=16-40+24+8-8=0$.
- $P'=4X^3-15X^2+12X+4$ : $P'(2)=32-60+24+4=0$.
- $P''=12X^2-30X+12$ : $P''(2)=48-60+12=0$.
- $P'''=24X-30$ : $P'''(2)=18\neq 0$.
Donc $2$ est racine triple. La formule de Taylor en $2$, avec $P^{(4)}=24$, donne $$P=\frac{18}{6}(X-2)^3+\frac{24}{24}(X-2)^4=(X-2)^3(3+X-2)=(X-2)^3(X+1).$$
Reste de X^n par (X−1)^2
Soit $n\geq 1$. On écrit $X^n=(X-1)^2Q+\alpha X+\beta$. En évaluant en $1$ : $1=\alpha+\beta$. En dérivant : $nX^{n-1}=2(X-1)Q+(X-1)^2Q'+\alpha$, puis en évaluant en $1$ : $n=\alpha$. Donc $$R=nX+1-n .$$ Contrôle pour $n=2$ : $X^2=(X-1)^2+2X-1$.
Racine de P et racine de P'
Si $a$ est racine de multiplicité $m\geq 1$ de $P$, alors $a$ est racine de multiplicité exactement $m-1$ de $P'$ (appliquer le théorème à $P'$). Une racine simple de $P$ n'est donc pas racine de $P'$.
S’entraîner
- Degré et coefficient dominant
- Poser une division euclidienne
- Multiplicité d'une racine et factorisation
- Sommes symétriques des racines d'un polynôme de degré 3
- Reste de X^n par un diviseur ayant une racine double