Prépa, 1re année › Polynômes › Formule de Taylor pour les polynômes
Formule de Taylor pour les polynômes : énoncé (MPSI)
Théorème
Formule de Taylor pour les polynômes
Soient $P\in\mathbb{K}_n[X]$ et $a\in\mathbb{K}$. Alors $$P=\sum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k .$$ Cette formule est exacte : il n'y a pas de reste.
Démonstration : Formule de Taylor pour les polynômes
Démonstration
Formule de Taylor
Le polynôme $S=P\circ(X+a)$ est de degré $\leq n$ ; écrivons $S=\sum_{j=0}^n b_jX^j$. En composant par $X-a$ : $P=S\circ(X-a)=\sum_{j=0}^n b_j(X-a)^j$.
Dérivons $k$ fois (avec $0\leq k\leq n$) puis évaluons en $a$. D'après la dernière règle de calcul, la dérivée $k$-ième de $(X-a)^j$ s'annule en $a$ sauf si $j=k$, où elle vaut $k!$. Donc $P^{(k)}(a)=k!\,b_k$, soit $b_k=\dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}$, ce qui est la formule annoncée.
S’entraîner
- Degré et coefficient dominant
- Multiplicité d'une racine et factorisation
- Divisibilité par (X−1)^2 et quotient explicite
- Interpolation en quatre points
- Une équation fonctionnelle polynomiale