Exercice 10 · Les racines de la somme partielle de l'exponentielle sont simples
Premiumentrainement●●●Calculer un polynôme dérivéCaractériser une racine multiple par P(a)=P'(a)=0Utiliser le théorème de d'Alembert-Gauss
Soit $n\geq 1$ et $$E_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}.$$
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Exprimer $E_n'$ en fonction de $E_n$ et de $X^n$.
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Montrer que toutes les racines complexes de $E_n$ sont simples. En déduire le nombre de racines complexes distinctes de $E_n$.
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Vérifier le résultat pour $n=2$.
Indice 1
Dériver terme à terme et simplifier $\frac{k}{k!}$.
Indice 2
Une racine multiple $a$ vérifie $E_n(a)=E_n'(a)=0$ ; utiliser la question 1.
Indice 3
Le nombre de racines distinctes se déduit du degré et du caractère scindé sur $\mathbb{C}$.
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