Prépa, 1re année › Séries numériques › Divergence grossière
Divergence grossière : énoncé (MPSI)
Théorème
Divergence grossière
Si la série $\sum u_n$ converge, alors $u_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$.
Par contraposée : si $(u_n)$ ne tend pas vers $0$, la série $\sum u_n$ diverge. On dit qu'elle diverge grossièrement.
Démonstration : Divergence grossière
Démonstration
Preuve
Supposons que $(S_n)$ converge vers $S$. Pour $n\ge1$, $u_n=S_n-S_{n-1}$. Or $S_n\to S$ et $S_{n-1}\to S$, donc $u_n\to S-S=0$.
Attention
La réciproque est fausse
Que $u_n$ tende vers $0$ ne prouve rien. L'exemple de référence est la série harmonique $\sum_{n\ge1}\frac1n$ : son terme général tend vers $0$ et pourtant elle diverge (voir plus bas). Le critère sert uniquement à prouver une divergence.