Prépa, 1re année › Séries numériques › Convergence, somme, reste

Convergence, somme, reste : définition (MPSI)

Définition

Convergence, somme, reste

On dit que la série $\sum u_n$ converge si la suite $(S_n)$ converge. Sa limite est alors appelée somme de la série et notée $$\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}S_n.$$ Dans ce cas, pour tout $n$, on définit le reste d'ordre $n$ : $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k=\sum_{k=0}^{+\infty}u_k-S_n,$$ et on a $R_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$.

Si $(S_n)$ n'a pas de limite finie, on dit que la série diverge. Déterminer si une série converge ou diverge, c'est étudier sa nature.

Attention

Ne pas écrire la somme trop tôt

Le symbole $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$ n'a de sens qu'une fois la convergence établie. On écrit d'abord $\sum u_n$ (l'objet), on prouve la convergence, puis seulement on manipule $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$ (le nombre).

S’entraîner

Dans le cours

Séries numériques : Convergence, somme, reste