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Séries géométriques : énoncé (MPSI)

Théorème

Séries géométriques

Soit $q\in\mathbb C$. La série $\sum q^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, et dans ce cas $$\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q},\qquad \sum_{n=n_0}^{+\infty}q^n=\frac{q^{n_0}}{1-q}.$$ Si $|q|\ge1$, la série diverge grossièrement.

Démonstration : Séries géométriques

Démonstration

Preuve

Si $|q|\ge1$, alors $|q^n|=|q|^n\ge1$, donc $q^n$ ne tend pas vers $0$ : divergence grossière.

Si $|q|<1$, alors $q\neq1$ et $$S_n=\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$$ Comme $|q^{n+1}|=|q|^{n+1}\to0$, on obtient $S_n\to\frac1{1-q}$. Pour la somme à partir de $n_0$ : $\sum_{k=n_0}^{n}q^k=q^{n_0}\sum_{j=0}^{n-n_0}q^j\to\frac{q^{n_0}}{1-q}$.

Exemple

Calculs de sommes géométriques

$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{2^n}=\frac{1}{1-\frac12}=2$.
$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac1{3^n}=\frac{(1/3)^2}{1-\frac13}=\frac19\times\frac32=\frac16$.
$\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{i}{2}\right)^n=\frac{1}{1-\frac i2}=\frac{2}{2-i}=\frac{2(2+i)}{5}=\frac45+\frac25 i$.
$\sum(-1)^n$ diverge grossièrement : $|(-1)^n|=1$.

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