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Prépa, 1re année › Séries numériques › Lien suite-série : séries télescopiques

Lien suite-série : séries télescopiques : énoncé (MPSI)

Théorème

Lien suite-série : séries télescopiques

Soit $(a_n)$ une suite. La série $\sum(a_{n+1}-a_n)$ converge si et seulement si la suite $(a_n)$ converge, et dans ce cas $$\sum_{n=0}^{+\infty}(a_{n+1}-a_n)=\lim_{n\to+\infty}a_n-a_0.$$ Inversement, toute suite $(a_n)$ s'écrit $a_n=a_0+\sum_{k=0}^{n-1}(a_{k+1}-a_k)$ : étudier une suite revient à étudier une série, et réciproquement.

Démonstration : Lien suite-série : séries télescopiques
Démonstration

Preuve

Les termes se simplifient deux à deux : $$S_n=\sum_{k=0}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_0.$$ Donc $(S_n)$ converge si et seulement si $(a_{n+1})$ converge, c'est-à-dire si et seulement si $(a_n)$ converge, et la limite vaut $\lim a_n-a_0$.

Exemple

Trois séries télescopiques

  1. Pour $k\ge1$, $\frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$. Donc $\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}=1-\frac1{n+1}\to1$ et $$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k(k+1)}=1.$$
  2. Pour $k\ge1$, $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac12\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)$ (on vérifie en réduisant au même dénominateur : $\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}=\frac{2}{k(k+1)(k+2)}$). Avec $a_k=\frac{1}{k(k+1)}\to0$ et $a_1=\frac12$, on obtient $$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac12\left(a_1-0\right)=\frac14.$$
  3. Pour $k\ge1$, $\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln(k+1)-\ln k$, donc $\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac1k\right)=\ln(n+1)\to+\infty$ : la série diverge, bien que son terme général tende vers $0$.

S’entraîner

Dans le cours

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