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Premières propriétés : énoncé (MPSI)
Propriété
Premières propriétés
- Modification d'un nombre fini de termes. Changer un nombre fini de termes de $(u_n)$ ne change pas la nature de $\sum u_n$ (la somme, elle, peut changer). En effet, à partir d'un certain rang, les sommes partielles ne diffèrent que d'une constante.
- Linéarité. Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent et $\lambda\in\mathbb C$, alors $\sum(\lambda u_n+v_n)$ converge et $$\sum_{n=0}^{+\infty}(\lambda u_n+v_n)=\lambda\sum_{n=0}^{+\infty}u_n+\sum_{n=0}^{+\infty}v_n.$$
- Si $\sum u_n$ converge et $\sum v_n$ diverge, alors $\sum(u_n+v_n)$ diverge (sinon $v_n=(u_n+v_n)-u_n$ serait le terme général d'une série convergente).
- Une série complexe $\sum u_n$ converge si et seulement si $\sum \mathrm{Re}(u_n)$ et $\sum\mathrm{Im}(u_n)$ convergent.
Attention
Somme de deux séries divergentes
Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ divergent toutes les deux, on ne peut rien dire de $\sum(u_n+v_n)$ : avec $u_n=1$ et $v_n=-1$, la somme est la série nulle, qui converge. On ne découpe jamais $\sum_{n=0}^{+\infty}(u_n+v_n)$ en deux sommes sans avoir prouvé que chacune existe.