Montrer qu'une partie est un sous-anneauDéterminer les inversibles à l'aide d'une normeDistinguer anneau intègre et corps
Soit $A=\{a+ib\sqrt2,\ a,b\in\mathbb Z\}$.
- Montrer que $A$ est un sous-anneau de $\mathbb C$. Est-il intègre ?
- Pour $z=a+ib\sqrt2\in A$, on pose $N(z)=|z|^2$. Montrer que $N(z)=a^2+2b^2$, puis que $N(zw)=N(z)N(w)$.
- Déterminer $A^\times$.
- $A$ est-il un corps ?
- Déterminer les $z\in A$ tels que $N(z)=3$, et vérifier que $3=(1+i\sqrt2)(1-i\sqrt2)$.
Indice 1
Développer $(a+ib\sqrt2)(c+id\sqrt2)$.
Indice 2
Si $z$ est inversible dans $A$, $N(z)$ et $N(z^{-1})$ sont deux entiers naturels de produit $1$.
Indice 3
Dans $a^2+2b^2=1$ ou $a^2+2b^2=3$, commencer par borner $b$.
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