Plan d'étude d'une suite récurrente : méthode (MPSI)

Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$. On pose $f(x)=\sqrt{2+x}$, continue et croissante sur $[-2,+\infty[$.

• Intervalle stable. $f$ est croissante, $f(0)=\sqrt2$ et $f(2)=2$, donc $f([0,2])=[\sqrt2,2]\subset[0,2]$. Comme $u_0\in[0,2]$, on a $u_n\in[0,2]$ pour tout $n$.
• Monotonie. $u_1=\sqrt2\ge0=u_0$ et $f$ est croissante sur $[0,2]$, donc $(u_n)$ est croissante. On peut aussi le voir avec le signe de $f(x)-x$ : pour $x\in[0,2]$, $\sqrt{2+x}\ge x\iff2+x\ge x^2\iff(x-2)(x+1)\le0$, ce qui est vrai.
• Convergence. La suite est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers un réel $\ell\in[0,2]$.
• Limite. $f$ est continue en $\ell$, donc $\sqrt{2+\ell}=\ell$. Cela impose $\ell^2=2+\ell$, soit $(\ell-2)(\ell+1)=0$. Comme $\ell\ge0$, on obtient $\ell=2$.

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac1{1+u_n}$. On pose $f(x)=\frac1{1+x}$, continue et décroissante sur $[0,1]$.

• Intervalle stable. $f([0,1])=\left[\frac12,1\right]\subset[0,1]$, donc $u_n\in[0,1]$ pour tout $n$.
• Fonction $g=f\circ f$. Pour $x\in[0,1]$, $$g(x)=\frac1{1+\frac1{1+x}}=\frac{1+x}{2+x}=1-\frac1{2+x},$$ qui est croissante et continue sur $[0,1]$.
• Monotonie des extraites. $u_0=1$, $u_1=\frac12$, $u_2=\frac23$, $u_3=\frac35$. Comme $u_2\le u_0$, la suite $(u_{2n})$ est décroissante ; comme $u_3\ge u_1$, la suite $(u_{2n+1})$ est croissante. Toutes deux sont bornées (dans $[0,1]$), donc convergent vers $a$ et $b$ dans $[0,1]$.
• Limites. Par continuité de $g$, $g(a)=a$ et $g(b)=b$. Or, pour $x\in[0,1]$, $g(x)=x\iff1+x=2x+x^2\iff x^2+x-1=0$. Les racines sont $\frac{-1\pm\sqrt5}2$ ; seule $\alpha=\frac{\sqrt5-1}2\approx0{,}618$ est dans $[0,1]$. Donc $a=b=\alpha$.
• Conclusion. Les suites des rangs pairs et impairs convergent vers $\alpha$, donc $u_n\to\alpha=\frac{\sqrt5-1}2$.