Prépa, 1re année › Suites réelles : convergence › La suite est bien définie
La suite est bien définie : énoncé (MPSI)
Propriété
La suite est bien définie
Si $I$ est stable par $f$ et $u_0\in I$, la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ définit une unique suite, et $u_n\in I$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Démonstration : La suite est bien définie
Démonstration
Preuve
Par récurrence : $u_0\in I$. Si $u_n$ est défini et appartient à $I$, alors $u_n\in D$, donc $u_{n+1}=f(u_n)$ est défini, et $u_{n+1}\in f(I)\subset I$.
S’entraîner
- Prouver une divergence avec des suites extraites
- Suite récurrente, fonction croissante, discussion selon u0
- Suite récurrente, fonction décroissante
- Trois suites extraites qui se recouvrent
- Théorème de Cesàro et application à une suite récurrente