Prépa, 1re année › Suites réelles : convergence › La limite est un point fixe
La limite est un point fixe : énoncé (MPSI)
Théorème
La limite est un point fixe
Soit $I$ un intervalle stable par $f$, $u_0\in I$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Si $(u_n)$ converge vers $\ell\in I$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(\ell)=\ell$.
Si $I=[a,b]$ est un segment, la condition $\ell\in I$ est automatique : de $a\le u_n\le b$ on tire $a\le\ell\le b$ par passage à la limite.
Démonstration : La limite est un point fixe
Démonstration
Preuve
La suite $(u_{n+1})$ est extraite de $(u_n)$, donc $u_{n+1}\to\ell$. Par continuité de $f$ en $\ell$ et caractérisation séquentielle de la continuité (admise ici, démontrée dans le chapitre « Limites et continuité »), $f(u_n)\to f(\ell)$. Comme $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$, l'unicité de la limite donne $f(\ell)=\ell$.
S’entraîner
- Revenir à la définition de la limite
- Lever des formes indéterminées
- Trois encadrements
- Prouver une divergence avec des suites extraites
- Un produit infini par la limite monotone