Monotonie de la suite : énoncé (MPSI)

Pour tout $n$, $u_n\in I$, donc $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\ge0$.

Supposons $u_0\le u_1$ et montrons par récurrence que $u_n\le u_{n+1}$. C'est vrai pour $n=0$. Si $u_n\le u_{n+1}$, ces deux réels sont dans $I$ et $f$ est croissante sur $I$, donc $f(u_n)\le f(u_{n+1})$, soit $u_{n+1}\le u_{n+2}$. Le cas $u_0\ge u_1$ est identique.

La fonction $g=f\circ f$ est croissante sur $I$ (composée de deux fonctions décroissantes) et $I$ est stable par $g$. Comme $u_{2(n+1)}=g(u_{2n})$ et $u_{2(n+1)+1}=g(u_{2n+1})$, le point 2 appliqué à $g$ montre que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones. Si par exemple $u_0\le u_2$, alors en appliquant $f$ décroissante, $u_1=f(u_0)\ge f(u_2)=u_3$ : la suite $(u_{2n})$ est croissante et $(u_{2n+1})$ décroissante. L'autre cas est symétrique.