Prépa, 1re année › Variables aléatoires sur un univers fini › Formule de transfert
Formule de transfert : énoncé (MPSI)
Théorème
Formule de transfert
Si $X:\Omega\to E$ et $f:E\to\mathbb{R}$, alors $$E(f(X))=\sum_{x\in X(\Omega)}f(x)\,P(X=x).$$ En particulier, pour un couple, $E(g(X,Y))=\displaystyle\sum_{(x,y)}g(x,y)\,P(X=x,Y=y)$.
Intérêt : on calcule $E(f(X))$ sans déterminer la loi de $f(X)$.
Démonstration : Formule de transfert
Démonstration
Notons $F=f(X(\Omega))$. Pour $y\in F$, $P(f(X)=y)=\sum_{x:\,f(x)=y}P(X=x)$. Donc $$E(f(X))=\sum_{y\in F}y\sum_{\substack{x\in X(\Omega)\\f(x)=y}}P(X=x)=\sum_{y\in F}\ \sum_{\substack{x\in X(\Omega)\\f(x)=y}}f(x)P(X=x)=\sum_{x\in X(\Omega)}f(x)P(X=x),$$ car chaque $x\in X(\Omega)$ apparaît une et une seule fois, dans le paquet $y=f(x)$. Le cas d'un couple est le cas particulier où la variable est $(X,Y)$.
S’entraîner
- Loi du carré d'une variable uniforme
- Loi définie à une constante près
- Un dé, puis des pièces
- Somme de deux lois binomiales indépendantes
- Œufs et poussins (type CCINP)
Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Formule de transfert